Funktionsweise des Abakus

Seiten: 1 | 2 Addition

Die Addition ist die einfachste Rechenoperation auf dem Abakus. Die Zahlen werden einfach nacheinander in den Abakus eingegeben, das Ergebnis kann direkt abgelesen werden. Gesucht sei die Lösung der Aufgabe 19 + 28 = ?. Zuerst wird die 19 in den Abakus eingegeben, d.h. eine ein-wertige Kugel in der Zehnerspalte, eine fünf-wertige und vier ein-wertige in der Einerspalte werden zum Mittelbalken bewegt. Will man jetzt dazu die 28 addieren, fängt man (wie übrigens immer,) rechts an. Da man in der Einerspalte jetzt aber keine 8 mehr dazu addieren kann, weil die Kugeln schon für die 9 der 19 gebraucht werden, wird zur oben genannten Hilfskonstruktion gegriffen. Da “8 = 10 – 2″ kann man statt 8 zu 19 zu addieren genausogut 10 dazuaddieren,vorausgesetzt man zieht hinterher wieder 2 ab. Genau das wird hier getan:

19 + 10 – 2 ( = 27 )

Um die 2 von der jetzt entstandenen 29 wieder abzuziehen, werden zwei ein-wertige Kugeln in der Einerspalte wieder vom Mittelbalken nach unten geschoben. Dadurch ist nun die 8 der 28 zur 19 addiert worden. Jetzt muß nur noch die 20 zur inzwischen entstandenen 27 addiert werden. Das geschieht durch das Verschieben zweier ein-wertiger Kugeln in der Zehnerspalte hin zum Mittelbalken.

+ 20 = 47

Als Ergebnis der Rechnung 19 + 28 kann man nun die 47 ablesen Subtraktion

Die Subtraktion stellt für jemanden, der die Addition auf dem Abakus beherrscht, kein Problem dar. Die Vorgehensweise wird nur umgekehrt. Aus Platzgründen soll hier nur auf einfache Subtraktionsprobleme eingegangen werden, bei denen der Minuend größer als der Subtrahend ist, also keine negativen Ergebnisse entstehen können. Als erstes Beispiel sei 26 von 43 abzuziehen. Dazu wird zuerst die 43 in den Abakus eingegeben. Um die sechs von der drei abzuziehen (es wird wieder von rechts angefangen), muß man wieder zu einer Hilfskonstuktion greifen. Da 6 = 10 – 4 ist die Subtraktion von 6 dasselbe wie die Subtraktion von 10 mit einer darauf folgenden Addition von 4. Die vier läßt sich in diesem Fall aber auch nicht einfach addieren, da in der Einerspalte keine vier Kugeln zum Addieren übrig sind. Dieses Problem läßt sich wie die oben angeführten durch die Addition von 5 und der Subtraktion einer 1 lösen.

Mit Hilfe dieses Umwegs und einer darauf folgenden Subtraktion der übrigen 20 (zwei Kugeln in der Zehnerspalte vom Mittelbalken nach unten bewegen) kommt man auf 17, das korrekte Ergebnis. Im zweiten Beispiel soll 5 von 11.000 abgezogen werden. Hierbei besteht das Problem im Nichtvorhandensein einer Zahl in der Einerspalte, von der die 5 subtrahiert werden kann. Hier hilft aber der suan pan mit seiner “Überbesetzung” der Spalten. Die Eins in der Tausender-Spalte läßt sich auch durch eine Zehn in der Hunderter-Spalte ausdrücken. Wenn man nun in der Hunderter-Spalte eine der Kugeln abzieht, dafür aber in der Zehner-Spaltezehn Kugeln setzt, dort nun wieder eine Kugel abzieht und dafür zehn in der Einer-Spalte setzt, hat man, ohne etwas am Minuenden zu verändern, gewissermaßen Kugeln in die Einer-Spalte “transportiert”. Nun stellt die Subtraktion von 5 von den dort vorhandenen 10 kein Problem mehr dar.

Multiplikation

Als schwieriges Beispiel sei die Aufgabe gestellt, 185 mit 96 zu multiplizieren. Die Vorgehensweise bleibt identisch zu oben genanntem Beispiel: Zuerst wird die 185 ganz links, dann die 96 mit einer Spalte Trennung eingegeben. Nun wird die 5 der 185 mit der 6 der 96 multipliziert, ergibt 30, die ganz rechts eingegeben wird. Im Folgenden wird ebenso verfahren: Die 8 wird mit der 6 multipliziert, die entstehende 48 wird eine Spalte weiter links addiert. Aus Kugelmangel muß hier wieder 50 addiert und 2 abgezogen werden. Gleichermaßen wird die 1 mit der 6 multipliziert, die entstehenden 6 werden zur bereits vorhandenen 5 der vorher entstandenen 48 (50 – 2) addiert. Die so ablesbaren 1.110 sind das Ergebnis der Multiplikation 185 x 6.

Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird jetzt die bereits behandelte 6 der 96 wieder entfernt, dadurch gewinnt man Platz für das Ergebnis und stellt sicher, daß die 6 nicht versehentlich noch irgendwo in die Rechnung “hineinrutscht” und zu einem falschen Resultat führt.

Mit der verbleibenden 9 der 96 wird nun ebenso verfahren wie vorher, das Produkt wird aber eine Spalte weiter links eingegeben. Also: 5 x 9 ergibt 45,8 x 9 ergibt 72, 1 x 9 gibt 9.

Für die Addition der letzten 9 zu der 7 der 72 wird wieder 10 addiert und 1 abgezogen. Jetzt wird deutlich, warum es vorher besser war, die 6 zu entfernen: Sie wäre sonst mit dem Produkt “zusammengewachsen”. So kann das Produkt problemlos abgelesen werden: 17.760.

Division

Die Division erfolgt auf dem Abakus analog zur Multiplikation. Divisor und Dividend werden in dieser Reihenfolge von links mit einer Spalte Abstand in den Abakus eingegeben. Der Quotient entsteht ganz rechts, wobei seine Größe abgeschätzt werden muss, da er von links nach rechts entsteht. Eventuelle Fehlschätzungen lassen sich aber leicht durch Verschieben der bereits entstandenen Stellen des Quotienten korrigieren. (In der Regel dürfte eine eventuelle Verschiebung nur nach links erfolgen, wenn nämlich zuwenig Stellen für den Quotienten vorhanden sind. Eine Verschiebung hin zum rechten Rand hätte rein ästhetische Gründe).Als erstes Beispiel sei 156 durch 13 zu dividieren.Es wird also zuerst der Divisor (die 13) und dann der Dividend (156) in den Abakus eingegeben. Wie bei unserer Methode der schriftlichen Division wird nun der Dividend von links nach rechts angegangen. Da sich die führende 1 nicht durch 13 teilen lässt, wird die nächste Stelle (die 5) noch dazu genommen. Jetzt lässt sich die entstandene 15 durch 13 teilen, Ergebnis 1. Da eine dreistellige Zahl durch eine zweistellige geteilt wird, kann, sofern ein ganzzahliges Ergebnis entsteht, eine zweistelliger Quotient erwartet werden. Die eins wird also in der vorletzten Spalte eingetragen, die letzte wird für die zweite Ziffer freigehalten. Nun wird der Quotient mit dem Divisor multipliziert, das Ergebnis wird vom Dividend von vorne her abgezogen.

1 x 13 gibt 13, diese 13 wird nun von der 15 der 156 abgezogen, bleibt die 2,insgesamt 26.

Die 26 wird nun wieder durch 13 geteilt, das Ergebnis2 wird in die letzte Spalte eingetragen. Nun wird zur Kontrolle wieder die Multiplikation durchgeführt, 2 x 13 = 26, die 26 wird vom Dividend abgezogen, Ergebnis 0.

Der Dividend ist nun komplett verschwunden, als Ergebnis der Division steht die 12 in den letzten beiden Spalten.Bei dem oben genannten Beispiel musste der Divisor für die nach jeder Division folgenden Multiplikation nicht aufgeteilt werden, da nur die Frage nach 1 x 13 bzw. 2 x 13 gestellt war. Wenn der Divisor jedoch groß ist oder mit einer Zahl größer als zwei oder drei multipliziert werden muss, muss er stückweise multipliziert werden. (ks, fas, fah) » Zurück zur Geschichte des Abakus…

Quellen

» FH-Friedberg » Jörn Lütjens » Benjamin Wrightson